\title{金融随机分析}

\subtitle{一般美式衍生证券以及美式看涨期权}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
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\begin{document}

\maketitle
\begin{frame}{目录}
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  %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
  %    \end{column}
  %\end{columns}
\end{frame}

\section{非路径依赖美式衍生证券定价}

\begin{frame}[c]{三时段二叉树模型}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-3.pdf}
    \label{fig:BT-3}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{一个路径依赖的美式衍生证券 --- 平均股价的看跌期权}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 考虑上图中的三时段二叉树模型
    \item 设利率 $r=\frac{1}{4}$, 上升因子 $u=2$, 下降因子 $d=\frac{1}{2}$
    \item 在每个时刻$n$, $n=0, 1, 2, 3$, 美式衍生证券的内在价值为
      \[
        \left(4-\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^n S_j\right)^+
      \] 
    \item 求此美式衍生证券在时刻 0 的价格以及最优实施策略（最优停时）
  \end{itemize}
% 在三时段二叉树模型中, 设利率 $r=\frac{1}{4}$, 上升因子 $u=2$,
% 下降因子 $d=\frac{1}{2}$.
% % so the risk-neutral probabilities are $\tilde p = \tilde q = \frac{1}{2}$.
% 求在每个时刻$n$, $n=0, 1, 2, 3$, 内在价值为
% $\left(4-\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^n S_j\right)^+$
% 的路径依赖美式衍生证券在时刻 0 的价格以及最优实施策略（最优停时）。
% 这里的内在价值是一个关于时刻 0 与时刻 $n$ 之间平均股价的看跌期权支付值。
\end{frame}

\begin{frame}[c]{平均股价的看跌期权的价值}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 非路径依赖美式衍生证券定价基于
      \[
        v_N(s) = \max \{g(s),0\}
      \]
      \[
        \max \left\{
        g\left( s\right),
        \frac{1}{1+r}\left[\tilde{p}v_{n+1}(us) + \tilde{q}v_{n+1}(ds)\right]
        \right\},
        n = N-1, \ldots, 0
      \] 
      % \[
      %   n = N-1, N-2, \ldots, 0
      % \]
      此算法可以用于求平均股价的看跌期权的价值吗？
    \item 为什么此算法在路径依赖的情况下会失效？
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{停时的扩展定义}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 我们的讨论限于$N$-时段二叉树资产定价模型的框架，
      其中上升因子 $u$, 下降因子 $d$, 和利率 $r$ 满足
      无套利限制条件
    \item 定义 $\varphi_n$ 为取值在
      \[
        \{n, n+1, \ldots, N, \infty\}
      \]
      中的所有停时 $\tau$ 的集合。
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{美式衍生证券价格过程}
\begin{definition}\label{def:AS_pricing_formula}
  对每一个 $n$, $n = 0, 1, 2, \ldots, N$,
  设 $G_n$ 是依赖于前 $n$ 次抛掷硬币结果的随机变量。
  具有内在价值过程 $G_n$ 的美式衍生证券
  可以在时刻 $N$ 之前的任何时刻（包括时刻 $N$ ）被实施，
  并且如果在时刻 $n$ 被实施，
  支付为 $G_n$.
  对每一个 $n$, $n = 1, 2, \ldots, N$,
  我们通过以下美式风险中性定价公式来定义这一衍生证券的价格过程：
  \begin{equation}\label{eq:AS_pricing_formula}
    V_n = \max_{\tau\in\varphi_n}\widetilde{\mathbb{E}}_n
    \left[
      \mathbb{I}_{\tau\leq N} \frac{1}{(1+r)^{\tau-n}}G_{\tau}
    \right].
  \end{equation}
\end{definition}
\end{frame}

\begin{oframe}[c]{验证定义 1 得到的价格适用于非路径依赖的美式看跌期权}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AP-intrinsic-value-process-question.pdf}
    \label{fig:BT-2-AP-intrinsic-value-process-question}
  \end{figure}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{验证定义 1 适用于非路径依赖的美式看跌期权 --- 内在价值过程}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AP-intrinsic-value-process.pdf}
    \label{fig:BT-2-AP-intrinsic-value-process}
  \end{figure}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{验证定义 1 的适用性 --- 美式看跌期权过程}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AP-value-process.pdf}
    \label{fig:BT-2-AP-value-process}
  \end{figure}
\end{iframe}

\begin{oframe}[c]{将非路径依赖的美式算法推广到路径依赖的一般算法}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 定义 1 得到的价格是否满足行权的 ``最优性''?
    \item 怎样仿照非路径依赖的美式算法，构造一般算法？
  \end{itemize}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{定义 1 给出的美式衍生证券价格过程的性质}
  \begin{theorem}[]\label{thm:bookI_4_4_2}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 4.4.2.}
    由定义 \ref{def:AS_pricing_formula}
    给出的美式衍生证券价格过程具有如下性质：
    \begin{enumerate}
      \item 对所有的 $n$, $V_n\geq \max\{G_n, 0\}$;
      \item 贴现过程 $\frac{1}{(1+r)^n}V_n$ 是一个上鞅；
      \item 如果另有过程 $Y_n$ 满足：
        对所有的 $n$,
        \[
          Y_n\geq \max\{G_n, 0\}
        \]
        且 $\frac{1}{(1+r)^n}Y_n$ 是一个上鞅，
        则对所有的 $n$,
        $Y_n\geq V_n$.
    \end{enumerate}
  \end{theorem}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{美式衍生证券定价算法}

\begin{theorem}[]\label{thm:bookI_4_4_3}
  \footnote{此定理即参考书中的定理 4.4.3.}
  对于定义~\ref{def:AS_pricing_formula}
  中给出的路径依赖的衍生证券价格过程，
  我们有如下美式定价算法：
  \begin{equation}\label{eq:AP_price_N}
    V_N(\omega_1\ldots\omega_N) =
    \max\{G_N(\omega_1\ldots\omega_N), 0\},
  \end{equation}
  \begin{equation}\label{eq:AP_price_n}
    V_n\left(\omega^{(n)}\right) =
    \max \left\{
      G_n\left(\omega^{(n)}\right),
      \frac{1}{1+r}\widetilde{\mathbb{E}}_n
      [V_{n+1}]\left(\omega^{(n)}\right)
    \right\},
  \end{equation}
  \[ n = N-1, \ldots, 0 \]
\end{theorem}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{路径依赖美式衍生产品的复制}
\begin{theorem}[]\label{thm:bookI_4_4_4}
  \footnote{此定理即书中的定理 4.4.4.}
  考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型。
  对于任意 $n$, $n = 0, 1, \ldots, N$,
  设 $G_n$ 是依赖于前 $n$ 次抛掷硬币结果的随机变量。
  利用定义~\ref{def:AS_pricing_formula}
  中给出的 $V_n$,
  定义：
  \begin{equation}\label{eq:AP_replicate_stock}
    \varDelta_n\left(\omega^{(n)}\right)  =
    \frac{
      V_{n+1}\left(\omega^{(n)}H\right)
      -
      V_{n+1}\left(\omega^{(n)}T\right)
    }{
      S_{n+1}\left(\omega^{(n)}H\right)
      -
      S_{n+1}\left(\omega^{(n)}T\right)
    },
  \end{equation}
  \begin{equation}\label{eq:AP_replicate_consumption}
    C_n\left(\omega^{(n)}\right)
    =
    V_n\left(\omega^{(n)}\right)
    -
    \frac{1}{1+r}\widetilde{\mathbb{E}}_n
    [V_{n+1}]\left(\omega^{(n)}\right),
  \end{equation}
  其中 $n = 1, 2, \ldots, N$.
  对于所有的 $n$,
  我们有 $C_n \geq 0$.
\end{theorem}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{路径依赖美式衍生产品的复制（续）}
  \emph{
    若令 $X_0 = V_0$ 并且按时间前向递归定义在时刻 $n = 0, 1, \ldots, N-1$
    的投资组合价值
    \begin{equation}
      X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - C_n - \varDelta_n S_n),
    \end{equation}
    则对所有的 $n$ 和所有的 $\omega^{(n)}$, 我们有：
    \begin{equation}
      X_n\left( \omega^{(n)}\right)
      =
      V_n\left( \omega^{(n)}\right)
      \mbox{并且 }
      X_n \geq G_n.
    \end{equation}
  }
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{最优实施}
  \begin{theorem}[]\label{thm:bookI_4_4_5}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 4.4.5.}
    对于 $n=0$,
    使得式~\ref{def:AS_pricing_formula} 的右端取最大值的停时为：
    \begin{equation}\label{eq:AP_stopping_time}
      \tau^* = \min\{n; V_n = G_n\}.
    \end{equation}
    即：
    \begin{equation}\label{eq:AP_price_star}
      V_n = \widetilde{\mathbb{E}}_n
      \left[
        \mathbb{I}_{\tau^*\leq N} \frac{1}{(1+r)^{\tau^*-n}}G_{\tau^*}
      \right].
    \end{equation}
  \end{theorem}
  % \teach{
  %   用一个例子验证这个定理。“机不可失，失不再来”。
  % }
\end{iframe}

\section{美式看涨期权}%
\label{sec:mei_shi_kan_zhang_qi_quan_}

\begin{frame}[c]{二时段美式看涨期权 --- 图}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AC.pdf}
  \label{fig:pr:AC_2_period}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{二时段美式看涨期权 --- 问题}
\begin{problem}\label{pr:AC_2_period}
  如上图,
  假设利率 $r = 1 / 4$,
  期初股价 $S_0 = 4$,
  上升因子 $u = 2$, 下降因子 $d = 1 / 2$,
  美式看涨期权的敲定价格 $K = 5$.
  \begin{enumerate}
    \item 请计算此期权的内在价值
      $g\left( S_n\right)$, $n = 0, 1, 2$.
    \item 在第一次抛掷硬币的结果为{\bf 正面}时，
      期权的持有者是否应该行权？
    \item 在第一次抛掷硬币的结果为{\bf 背面}时，
      期权的持有者是否应该行权？
    \item 请计算此期权的价值
      $v_n\left( S_n\right)$, $n = 0, 1, 2$.
      注意此价值只与当期的股价有关，
      与之前的路径无关。
  \end{enumerate}
\end{problem}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{二时段美式看涨期权 --- 美式看涨期权的内在价值}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AC-intrinsic-value.pdf}
    \label{fig:BT-2-AC-intrinsic-value}
  \end{figure}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二时段美式看涨期权 --- 美式看涨期权的价值}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.99\textwidth]{../image/BT-2-AC-answer.pdf}
    \label{fig:BT-2-AC-answer}
  \end{figure}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{美式看涨期权的价值与欧式看涨期权的价值相同}
\begin{theorem}[]
  \label{thm:bookI_4_5_1}
  \footnote{此定理即参考书中的定理 4.5.1.}
  考虑 $N$-时段二叉树资产定价模型。
  设美式衍生证券的支付为满足 $g(0) = 0$ 的凸函数 $g(s)$,
  且该衍生证券在时刻 $0$ 的价值 (见定义~\ref{def:AS_pricing_formula}):
  \begin{equation}\label{eq:AC_pricing_formula}
    V_0^A = \max_{\tau\in\varphi_0}\widetilde{\mathbb{E}}
    \left[
      \mathbb{I}_{\tau\leq N} \frac{1}{(1+r)^{\tau}}g(S_{\tau})
    \right]
  \end{equation}
  相同于在到期日 $N$ 支付为 $g(S_N)$ 的欧式衍生证券的价值：
  \begin{equation}\label{eq:EC_pricing_formula}
    V_0^E = \widetilde{\mathbb{E}}
    \left[
      \frac{1}{(1+r)^N}\max\{g(S_N), 0\}
    \right].
  \end{equation}
\end{theorem}
\end{iframe}

\end{document}
